Question

（本小题满分14分）
已知向量, 向量, 且, 动点的轨迹为E.
（1）求轨迹E的方程;  
（2）证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;

Answer 1

（1）轨迹E的方程为：。
（2）存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A, B,
且.                 

解:（1）因为,, ,
所以,   所以，轨迹E的方程为：. …………… 4分
(2).设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,                              …………………… 6分
要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,
则使△=,
即,即,    且
,
要使,  需使,即,
所以, 即且, 即
即，恒成立.                                      …………………… 10分
又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为,, 所求的圆为.
当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.
综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A, B,
且.