题目内容
已知O是线段AB外一点，若| OA |
| a |
| OB |
| b |
（1）设点P、Q是线段AB的三等分点，试用向量
| a |
| b |
| OP |
| OQ |
（2）如果在线段AB上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．说明：第（2）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分．
分析：（1）由三角形法则及向量共线的数乘表示，分别用向量
、
表示出
，
，相加即得用向量
、
表示
+
的表达式；
（2）可先对二等分点，四等分点进行探究，归纳得出猜想
+
+…+
=
(
+
)，再数学归纳法证明结论．
| a |
| b |
| OP |
| OQ |
| a |
| b |
| OP |
| OQ |
（2）可先对二等分点，四等分点进行探究，归纳得出猜想
| OA1 |
| OA2 |
| OAn-1 |
| n-1 |
| 2 |
| a |
| b |
解答：
解：（1）如图：点P、Q是线段AB的三等分点
=
+
=
+
(
-
)，
则
=
+
，同理
=
+
，（2分）
所以
+
=
+
（4分）
（2）层次1：设A1是AB的二等分点，则OA1=
；
设A1、A2、A3是AB的四等分点，则
+
+
=
等等（结论（2分），证明2分）
层次2：设A1，A2，，An-1是AB的n等分点，则
+
=
+
等；（结论（2分），证明4分）
层次3：设A1，A2．，…，An-1是AB的n等分点，
则
+
+…+
=
(
+
)；（结论（3分），证明7分）
证：A1，A2，，An-1是线段n≥2的Sn-1=
+
an-1+
等分点，先证明这样一个基本结论：
+
=
+
（1≤k≤n-1，n、k∈N*）．
由
=
+
，
=
+
，
因为
和
是相反向量，
则
+
=0，
所以
+
=
+
．
记S=
+
+
+…+
+
，
S=
+
+…+
+
相加得2S=(
+
)+(
+
)+…+(
+
)=(n-1)(
+
)
∴
+
+…+
=
(
+
)
解：（1）如图：点P、Q是线段AB的三等分点| OP |
| OA |
| AP |
| OA |
| 1 |
| 3 |
| OB |
| OA |
则
| OP |
| 2 |
| 3 |
| a |
| 1 |
| 3 |
| b |
| OQ |
| 1 |
| 3 |
| a |
| 2 |
| 3 |
| b |
所以
| OP |
| OQ |
| a |
| b |
（2）层次1：设A1是AB的二等分点，则OA1=
| ||||
| 2 |
设A1、A2、A3是AB的四等分点，则
| OA1 |
| OA2 |
| OA3 |
3(
| ||||
| 2 |
层次2：设A1，A2，，An-1是AB的n等分点，则
| OAk |
| OAn-k |
| OA |
| OB |
层次3：设A1，A2．，…，An-1是AB的n等分点，
则
| OA1 |
| OA2 |
| OAn-1 |
| n-1 |
| 2 |
| a |
| b |
证：A1，A2，，An-1是线段n≥2的Sn-1=
| 1 |
| 4 |
| a | 2 n |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| OAk |
| OAn-k |
| OA |
| OB |
由
| OAk |
| OA |
| AAk |
| OAn-k |
| OB |
| BAn-k |
因为
| AAk |
| BAn-k |
则
| AAk |
| BAn-k |
所以
| OAk |
| OAn-k |
| OA |
| OB |
记S=
| OA1 |
| OA2 |
| OA3 |
| OAn-2 |
| OAn-1 |
S=
| OAn-1 |
| OAn-2 |
| OA2 |
| OA1 |
相加得2S=(
| OA1 |
| OAn-1 |
| OA2 |
| OAn-2 |
| OAn-1 |
| OA1 |
| OA |
| OB |
∴
| OA1 |
| OA2 |
| OAn-1 |
| n-1 |
| 2 |
| a |
| b |
点评：本题考查平面向量的综合题，解题的关键是熟练掌握向量的运算法则与向量的共线条件，归纳推理的思想，数学归纳法证明方程的方法，本题中先猜想，再用数学归纳法进行证明，难度较大，解题时要注意运算变形时认真、严谨，避免因运算失误导致解题失败．
练习册系列答案
导学全程练创优训练系列答案
相关题目