题目内容

定义在R上的函数y=f（x）满足f（5+x）=f（-x），（x-
5
2
）f′（x）＞0，已知x1＜x2，则f（x1）＞f（x2）是x1+x2＜5的（　　）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
∵f（5+x）=f（-x），所以函数f（x）关于x=
5
2
对称
∵(x-
5
2
)f/(x)＞0，
∴x＞
5
2
时，f'（x）＞0  函数f（x）单调递增；当x＜
5
2
时，f'（x）＜0   函数f（x）单调递减
当x1＜x2时，若f（x1）＞f（x2）则有x1＜x2＜5-x1，∴x1+x2＜5成立，故条件充分
当x1+x2＜5时，必有x2＜5-x1成立，又因为x1＜x2，所以f（x1）＞f（x2）成立，故必要
f（x1）＞f（x2）是x1+x2＜5的充要条件
故选C．
练习册系列答案
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11、定义在R上的函数y=f（x）满足f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），当x∈[-1，1]时，f（x）=x3，则f（2009）的值是（　　）
13、定义在R上的函数y=f（x）满足：f（x）=f（4-x），且f（x-2）+f（2-x）=0，则f（508）=
0
．
定义在R上的函数y=f(x)满足f(3-x)=f(x)，(x-
3
2
)f′(x)＞0(x≠
3
2
)，若x1＜x2，且x1+x2＞3，则有（　　）
下列四个命题：
①“a＞b”是“2a＞2b”成立的充要条件；
②“a=b”是“lga=lgb”成立的充分不必要条件；
③函数f（x）=ax2+bx（x∈R）为奇函数的充要条件是“a=0”
④定义在R上的函数y=f（x）是偶函数的必要条件是“
f(-x)f(x)
=1”．
其中真命题的序号是
①③
①③
．（把真命题的序号都填上）
定义在R上的函数y=f（x）满足f（-x）=-f（x），f（1+x）=f（1-x），当x∈[-1，1]时，f（x）=x3，则f（2011）=
-1
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．

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