Question

已知奇函数f（x）的导函数为f′（x）=5+cosx，x∈（-1，1），且f（0）=0，如果f（1-x）+f（1-x²）＜0，则实数x的取值范围为（　　）

• A、（0，1）
• B、(1， 

  2

  )
• C、(-2， -

  2

  )
• D、(1， 

  2

  )∪(-

  2

  ， -1)

Answer 1

分析：由已知中奇函数f（x）的导函数为f′（x）=5+cosx，x∈（-1，1），我们易判断出函数f（x）的在区间（-1，1）上的单调性，进而结合函数的单调性和奇偶性我们易将f（1-x）+f（1-x²）＜0，转化为一个关于x的不等式组，解不等式组即可得到实数x的取值范围．

解答：解：∵奇函数f（x）的导函数为f′（x）=5+cosx，
又∵f′（x）=5+cosx＞0在区间（-1，1）上恒成立，
∴函数f（x）在区间（-1，1）上单调递增
若f（1-x）+f（1-x²）＜0
则f（1-x）＜-f（1-x²）=f（x²-1）
即

-1＜1-x＜1 -1＜1-x2＜1 1-x＜x2- 1

解得1＜x＜

2

故选B

点评：本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合应用，在利用函数的单调性和奇偶性对f（1-x）+f（1-x²）＜0进行转化时，一定要注意函数的定义域为（-1，1）．