Question

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=

|x|+|x-2|-m

．
（1）当m=4时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥0的解集为R，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当m=4时，|x|+|x-2|-4≥0，通过对x≤0，0＜x＜2，x≥2三类讨论，去掉绝对值符号后解相应的不等式，最后取其并集即可；
（2）

|x|+|x-2|-m

≥0的解集为R?m≤|x|+|x-2|的解集为R，设g（x）=|x|+|x-2|，求g（x）_min即可．

解答：解：（1）当m=4时，|x|+|x-2|-4≥0，
①

x≤0 -2x-2≥0

⇒{x|x≤-1}或②

0＜x＜2 -2≥0

⇒x∈∅或③

x≥2 2x-6≥0

⇒{x|x≥3}，
∴函数f（x）的定义域为{x|x≤-1或x≥3}．
（2）由题知，

|x|+|x-2|-m

≥0的解集为R?m≤|x|+|x-2|的解集为R，
设g（x）=|x|+|x-2|，则g（x）=|x|+|x-2|≥|x-x+2|=2，即g（x）_min=2．
∴m≤g（x）_min=2．
∴m的取值范围为（-∞，2]．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合应用，属于中档题．