Question

【题目】是等边三角形，边长为4， 边的中点为，椭圆以， 为左、右两焦点，且经过、两点。

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）过点且轴不垂直的直线交椭圆于， 两点，求证：直线与的交点在一条定直线上.

Answer 1

【答案】（1）椭圆的方程为（2）证明见解析

【解析】试题分析：（1）由题意得 ，可得b,即得椭圆的标准方程；（2）由对称性知需证直线与的交点横坐标为定值，设， ，利用点斜式写出直线与方程，解方程组得交点横坐标满足，再设的方程为，代入化简得，联立直线MN方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简即得.

试题解析：解：（1）由题意可知两焦点为与，且，因此椭圆的方程为.

（2）①当不与轴重合时，

设的方程为，且，

联立椭圆与直线消去可得，即

，

设，

则： ①

： ②

②－①得

则，即.

②当与轴重合时，即的方程为，即， .

即： ①

： ②

联立①和②消去可得.

综上与的交点在直线上.