Question

已知数列{a_n}的各项均为整数，其前6项依次构成等比数列，且从第5项起依次构成等差数列．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₄=4，a₈=-1．
（1）求满足S_n＜0的n的最小值；
（2）是否存在正整数m，使得a_m•a_m+2+a_m-a_m+2=1成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先确定数列前6项的公比，等差数列的公差，求得数列的和，利用S_n＜0，即可求得结论；
（2）假设存在正整数m，使得a_m•a_m+2+a_m-a_m+2=1成立，则（a_m-1）（a_m+2+1）=0，由此可得结论．

解答：解：（1）设数列前6项的公比为q，则a₅=4q，a₆=4q²，
∴等差数列的公差为4q²-4q
∵a₈=-1，∴4q+3（4q²-4q）=-1
∴12q²-8q+1=0
∴q=

1

2

或q=

1

6

∵数列{a_n}的各项均为整数，
∴q=

1

2

，
∴等差数列的公差为-1
∴当n≤6时，a_n=2^6-n，当n≥7时，a_n=7-n，
∴S_n=

64×(1- 1 2n )，n≤6 63+ (n-6)(7-n) 2 ，n≥7

若63+

(n-6)(7-n)

2

＜0，则n≥18
∴满足S_n＜0的n的最小值为18；
（2）假设存在正整数m，使得a_m•a_m+2+a_m-a_m+2=1成立，则（a_m-1）（a_m+2+1）=0
∴a_m=1或a_m+2=-1
∴m=6．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．