Question

已知函数f(x)=2sin(x+

π

3

)，  g(x)=sinx-

3

cosx．求使f（x）+g（x）≥

1

2

f(x)•g(x)成立的所有x的集合．

Answer 1

分析：求出f（x）的表达式，推出f（x）+g（x）≥

1

2

f(x)•g(x)的表达式，然后纠错sinx的不等式，求出x的集合即可．

解答：解：因为f(x)=2sin(x+

π

3

)= sinx +

3

cosx，所以f（x）+g（x）=2sinx，
又f（x）•g（x）=sin²x-3cos²x，
所以f(x)+g(x)≥

1

2

f(x)•g(x)?2sinx≥

1

2

 (sin2x-3cos2x)
即4sinx≥sin²x-3（1-sin²x）?4sin²x-4sinx-3≤0，
解得  -

1

2

≤sinx≤1．
解得：{x|2kπ-

π

6

≤x≤2kπ+

7π

6

}．

点评：本题考查两角和的正弦函数平方差公式的应用，考查三角函数的值域的应用，考查计算能力．