Question

（2013•南充一模）已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞1，b＞0)的焦距为2c，离心率为e，若点（-1，0）与点（1，0）到直线

x

a

-

y

b

=1的距离之和为S，且S≥

4

5

c，则离心率e的取值范围是（　　）

• A．[

  5

  2

  ，

  5

  ]
• B．[

  2

  ，

  7

  ]
• C．[

  5

  2

  ，

  7

  ]
• D．[

  2

  ，

  5

  ]

Answer 1

分析：直线l的方程是

x

a

-

y

b

=1．点（1，0）到直线l的距离 d₁，点（-1，0）到直线l的距离d₂，s=d₁+d₂以及由 S≥

4

5

c，求出e的取值范围．

解答：解：直线l的方程为

x

a

-

y

b

=1，即bx-ay-ab=0．
由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离 d₁=

|b(a-1)|

a2+b2

，
同理得到点（-1，0）到直线l的距离．d₂=

|b(a+1)|

a2+b2

，s=d₁+d₂=

2ba

a2+b2

=

2ab

c

．
由S≥

4

5

c，即

2ab

c

≥

4

5

c得5

c2-a2

•a≥2c²．
于是得4e⁴-25e²+25≤0．
解不等式，得

5

4

≤e 2≤5．
由于e＞1＞0，
所以e的取值范围是 e∈[

5

2

，

5

]．
故选A．

点评：本题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力．