Question

已知函数f(x)=log5

1+x

1-x

，
（1）求f（x）的定义域．
（2）证明f（x）为奇函数．
（3）判断f（x）的单调性并证明．
（4）解不等式f（x）＜f（1-x）

Answer 1

分析：（1）要使函数的解析式有意义，自变量x必须满足使真数部分大于0，即

1+x

1-x

＞0，解分式不等式即可得到f（x）的定义域．
（2）根据已知中函数的解析式f(x)=log5

1+x

1-x

，我们可以写出f（-x）的表达式，然后利用对数的运算性质，判断f（-x）与f（x）的关系，即可得到结论；
（3）在区间（-1，1）上任取x₁，x₂，令-1＜x₁＜x₂＜1，我们判断利用作差法判断f（x₁）-f（x₂）的符号，然后根据函数单调性的定义即可得到结论；
（4）根据（3）的结论，我们可将不等式转化为关于x的不等式组-1＜x＜1-x＜1，解不等式组即可得到答案．

解答：解：（1）∵

1+x

1-x

＞0，即-1＜x＜1∴f(x)=log5

1+x

1-x

的定义域为（-1，1）（3分）
（2）f(x)=log5

1+x

1-x

∵的定义域为（-1，1），在（-1，1）上任取一个自变量x
则f(-x)=log5

1-x

1+x

=-log5

1+x

1-x

=-f(x)
∴f（x）为奇函数．（6分）
（3）在区间（-1，1）上任取x₁，x₂∴-1＜x₁＜x₂＜1（17分）f(x1)-f(x2)=log5

1+x1

1-x1

-log5

1+x2

1-x2

=log5(

1+x1

1+x2

.

1-x2

1-x1

)（9分）
又0＜1+x₁＜1+x₂&，0＜1-x₂＜1-x₁
∴0＜

1+x1

1+x2

＜1&，0＜

1-x2

1-x1

＜1，即0＜

1+x1

1+x2

.

1-x2

1-x1

＜1（11分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x）为（-1，1）上的增函数（12分）
（4）∵f（x）为（-1，1）上的增函数∴-1＜x＜1-x＜1
解得0＜x＜

1

2

（14分）

点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，函数奇偶性的判断及对数函数持定义域，其中结合对数的运算性质及复合函数的性质综合分析问题是解答本题的关键，本题解答过程中易忽略真数大于0的限制，造成错解．