Question

已知双曲线x²-y²=2的左、右焦点分别为F₁、F₂，过点F₂的动直线与双曲线相交于A、B两点，
（Ⅰ）若动点M满足（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）在x轴上是否存在定点C，使为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：由条件知，设，
（Ⅰ）设M（x，y），则，，
由得，
于是AB的中点坐标为；
当AB不与x轴垂直时，，
因为A、B两点在双曲线上，所以，
两式相减得，
将，代入上式，化简得；
当AB与x轴垂直时，，求得M(8，0)，也满足上述方程；
故点M的轨迹方程是；
（Ⅱ）假设在x轴上存在定点C(m，0)，使为常数。
当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是，
代入，
则x₁、x₂是上述方程的两个实根，所以，
于是

，
因为是与k无关的常数，所以4-4m=0即m=1，此时；
当AB与x轴垂直时，点A、B的坐标可别设为，
此时；
故在x轴上存在定点C（1，0），使为常数。