Question

（2012•黄州区模拟）如图，已知点D（0，-2），过点D作抛物线C₁：x²=2py（p∈[1，4]的切线l，切点A在第二象限．
（1）求切点A的纵坐标；
（2）若离心率为

3

2

的椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞c）恰好经过A点，设切线l交椭圆的另一点为B，若设切线l，直线OA，OB的斜率为k，k₁，k₂，①试用斜率k表示k₁+k₂②当k₁+k₂取得最大值时求此时椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）设切点A的坐标，得切线的方程，根据点D（0，-2）在l上，从而可求切点A的纵坐标；
（2）先根据e=

3

2

及A（-2

p

，2），化简椭圆方程，设直线AB方程椭圆的方程，消去y，利用韦达定理可求斜率，利用函数的单调性，可求最值，从而可得椭圆的方程．

解答：解：（1）设切点A（x₀，y₀），依题意则有y₀=

x02

2p

，
由切线l的斜率为k=

x0

p

，得l的方程为y=

x0

p

x-

x02

2p

，
又点D（0，-2）在l上，
∴

x02

2p

=2，即点A的纵坐标y₀=2；
（2）依题意可设直线AB方程为：y=kx-2=-

2

p

x-2；
由e=

3

2

得

x2

4b2

+

y2

b2

=1
由（1）可得A（-2

p

，2），将A代入

x2

4b2

+

y2

b2

=1可得b=

p+4

，故椭圆的方程可简化为

x2

4p+16

+

y2

p+4

=1；
联立直线AB与椭圆的方程，消去y得：（4k⁴+k²）x²-16k³x-16=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

16k

4k2+1

，x₁x₂=

-16

4k4+k2

①k₁+k₂=

kx1-2

x1

+

kx2-2

x2

=2k-2×

x1+x2

x1x2

=2k+2k³；
②∵k=

-2

p

(p∈[1，4]），∴k∈[-2，-1]，
∵f（k）=2k+2k³在[-2，-1]上为单调递增函数，故当k=-1时，k₁+k₂取到最大值，此时P=4，
故椭圆的方程为

x2

32

+

y2

8

=1．

点评：本题主要考查抛物线的切线方程，考查直线与椭圆的位置关系及利用函数的单调性求最值，属于中档题．