Question

（2008•海珠区一模）正方形ABCD的边长为1，分别取边BC，CD的中点E，F，连接AE，EF，AF，以AE，EF，AF为折痕，折叠这个正方形，使点B，C，D重合于一点P，得到一个四面体，如图所示．
（1）求证：AP⊥EF；
（2）求证：平面APE⊥平面APF；
（3）求三棱锥P-AEF的体积．

Answer 1

分析：（1）通过∠APE=∠APF=90°，证明PA⊥平面PEF，然后证明AP⊥EF；
（2）利用∠APE=∠EPF=90°，证明PE⊥平面APF，然后证明平面APE⊥平面APF；
（3）利用VP-AEF=VA-PEF=

1

3

S△PEF•AP，求出几何体的体积．

解答：（本小题满分14分）
证明：（1）∵∠APE=∠APF=90°，
PE∩PF=P，
∴PA⊥平面PEF．…（3分）
又EF?平面PEF，
AP⊥EF；…5分
（2）∵∠APE=∠EPF=90°，AP∩PF=P，
∴PE⊥平面APF．…（8分）
又PE?平面APE，
∴平面APE⊥平面APF．…（10分）
（3）由（1）知PA⊥平面PEF，
∴VP-AEF=VA-PEF=

1

3

S△PEF•AP=

1

3

×

1

2

×

1

2

×

1

2

×1=

1

24

．…（14分）

点评：本小题主要考查空间线面关系，体积的求法，考查空间想像能力和推理论证能力，考查计算能力．