Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=

n+2

n

a_n+1（n∈N^*）．
（1）证明数列{

an

n

}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=

2 n

an

，求证：b₁+b₂+…+b_n＜6．

Answer 1

分析：（1）根据数列递推式，再写一式，两式相减整理可得

an+1

n+1

-

an

n

=

an

n

-

an-1

n-1

，即可得到数列{

an

n

}是等差数列；
（2）确定数列{

an

n

}是以1为首项，1为公差的等差数列，即可求数列{a_n}的通项公式；
（3）对通项放缩，再裂项求和，即可证得结论．

解答：（1）证明：∵a_n+1=

n+2

n

a_n+1，∴a_n=

n+1

n-1

a_n-1+1
两式相减可得a_n+1-a_n=

n+2

n

a_n-

n+1

n-1

a_n-1，
整理可得

an+1

n+1

-

an

n

=

an

n

-

an-1

n-1

，
∴数列{

an

n

}是等差数列；
（2）解：∵a₁=1，a_n+1=

n+2

n

a_n+1，∴a₂=3a₁+1=4
∴

a2

2

-

a1

1

=1
∴数列{

an

n

}是以1为首项，1为公差的等差数列
∴

an

n

=n，
∴a_n=n²；
（3）证明：n≥2时，b_n=

2 n

an

=

2 n

n2

=

4

n n +n n

＜

4

(n-1) n +n n-1

=4（

1

n-1

-

1

n

）
∴b₁+b₂+…+b_n＜b₁+4[（1-

1

2

）+（

1

3

-

1

2

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）=2+4（1-

1

n

）＜6．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．