Question

（2013•昌平区二模）已知函数f（x）=

1

2

x2-alnx(a＞0)
（Ⅰ）若f（x）在x=2处的切线与直线3x-2y+1=0平行，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[1，e]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f′（x）=x-

a

x

=

x2-a

x

，由f'（2）=

3

2

，能求出a，再求出函数的定义域，求出导函数，令导函数大于0，求出x的范围，写出区间形式即得到函数f（x）的单调增区间．
（II）求出导函数，令导函数为0求出根，通过讨论根与区间[1，e]的关系，判断出函数的单调性，求出函数的最小值．

解答：解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=x-

a

x

=

x2-a

x

由f（x）在x=2处的切线与直线3x-2y+1=0平行，则f′（2）=

4-a

2

=

3

2

，a=1…．（4分）
此时f（x）=

1

2

x²-lnx，f′（x）=

x2-1

x

令f′（x）=0得x=1
f（x）与f′（x）的情况如下：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	1 2	↗

所以，f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）…（7分）
（II）由f′（x）=

x2-a

x

由a＞0及定义域为（0，+∞），令f′（x）=0得x=

a

①若

a

≤1即0＜a≤1在（1，e）上，f′（x）＞0，
f（x）在[1，e]上单调递增，f（x）_min=f（1）=

1

2

；
②若1＜

a

＜e，即1＜a＜e²在（1，

a

）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；在（

a

，e）上，f′（x）＞0，
f（x）单调递增，因此在[1，e]上，f（x）_min=f（

a

）=

1

2

a（1-lna）；
③若

a

≥e，即a≥e²在（1，e）上，f′（x）＜0，
f（x）在[1，e]上单调递减，f（x）_min=f（e）=

1

2

e²-a
综上，当0＜a≤1时，f（x）_min=

1

2

；当1＜

a

＜e时，f（x）_min=

1

2

a（1-lna）；当a≥e²时，f（x）_min=

1

2

e²-a…..（13分）

点评：本题考查函数的单调区间的求法、利用导数求闭区间上函数的最值，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行分类讨论思想和等价转化思想进行解题．