Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n+(-1)ⁿ,n≥1.

（1）写出数列{a_n}的前两项a₁,a₂；

（2）求数列{a_n}的通项公式;

（3）证明对任意的整数m＞4,有++…+＜.

Answer 1

(1)解:由a₁=S₁=2a₁-1,得a₁=1;由a₁+a₂=S₂=2a₂+(-1)²,得a₂=0.

(2)解:当n≥2时，有

a_n=S_n-S_n-1=2(a_n-a_n-1)+2×(-1)ⁿ,

即有a_n=2a_n-1+2×(-1)^n-1,

从而a_n-1=2a_n-2+2×(-1)^n-2,

a_n-2=2a_n-3+2×(-1)^n-3,

……

a₂=2a₁-2.

接下来，逐步迭代就有

a_n=2^n-1a₁+2^n-1×(-1)+2^n-2×(-1)²+…+2×(-1)^n-1

=2^n-1+(-1)ⁿ［(-2)^n-1+(-2)^n-2+…+(-2)］

=2^n-1-(-1)ⁿ

=［2^n-2+(-1)^n-1］.

经验证a₁也满足上式，故知a_n=［2^n-2+(-1)^n-1］,n≥1.

或：对a_n=2a_n-1+2×(-1)^n-1的两边同除以(-1)ⁿ，便得=-2·-2.

令b_n=,就有b_n=-2b_n-1-2，

于是b_n+=-2(b_n-1+)，这说明数列{b_n+}是等比数列，公比q=-2,首项b₁=-1，从而，得b_n+=(b₁+)·(-2)^n-1=(-)·(-2)^n-1，

即+=(-)·(-2)^n-1，故有a_n=［2^n-2+(-1)^n-1］,n≥1.

(3)证明:由通项公式,得a₄=2.

当n≥3且n为奇数时，+=［+］=×

＜×=(+).

当m＞4且m为偶数时，++…+

=+(+)+…+(+)＜+(++…+)

=+××(1)＜+=.

当m＞4且m为奇数时，m+1为偶数，可以转化为上面的情景

++…+＜++…++＜.

故对任意整数m＞4，有++…+＜.