题目内容

已知f′（x）是f（x）的导函数，f（x）=ln（x+1）+m-2f′（1），m∈R，且函数f（x）的图象过点（0，-2）．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）设 $数学公式$ ，若g（x）＞0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．

解：（1）由已知得 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
又f（0）=-2∴ $\text{[math]}$
∴m=-1，∴f（x）=ln（x+1）-2．
（2）由（1）得 $\text{[math]}$
定义域为（-1，+∞），
∴ $\text{[math]}$ ．
∵a≠0
令g'（x）=0得 $\text{[math]}$
①当a＞0时 $\text{[math]}$ ，且在区间 $\text{[math]}$ 上g，（x）＞0，
在区 $\text{[math]}$ 上g′（x）＜0．
∴ $\text{[math]}$ 处取得极小值，也是最小值．
∴ $\text{[math]}$
由a+a（-lna-2）＞0得 $\text{[math]}$ ．∴ $\text{[math]}$ ．
②当a＜0时 $\text{[math]}$ ，
在区间（-1，+∞）上，g′（x）＜0恒成立．
g（x）在区间（-1，+∞）上单调递减，没有最值
综上得，a的取值范围是 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由题意先求出导函数，再求出f′（1），然后利用函数f（x）的图象过点（0，-2）建立的方程求解即可．
（2）由题意先求出g（x）的解析式，然后找函数在定义域下的最小值，让最小值还大于0，解出a的范围．
点评：此题重点考查了导函数的求导法则，函数在定义域下恒成立等价转化为求函数最小值并让最小值还大于0进而得出答案，在运算中又考查了分类讨论的思想．