Question

18．已知各项不为零的等差数列{a_n}的公差d≠0，若删去a₂，a₃，a₄，a₅的某一项，剩余3项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，则$\frac{{a}_{1}}{d}$的值为-5．

Answer 1

分析 删去的项共4种可能，分类讨论分别可得a₁和d的关系式，综合可得答案．

解答 解：若删去的是a₂或a₅，则由剩余3项得到的数列既等差数列又是等比数列可得d=0，这与已知矛盾，；
若删去的是a₃，则a₂，a₄，a₅的成等比数列，∴a₄²=a₂a₅，∴（a₁+3d）²=（a₁+d）（a₁+4d），
结合公差d≠0可得$\frac{{a}_{1}}{d}$=-5；
若删去的是a₄，则a₂，a₃，a₅的成等比数列，∴a₃²=a₂a₅，∴（a₁+2d）²=（a₁+d）（a₁+4d），
结合公差d≠0可得$\frac{{a}_{1}}{d}$=0，此时a₁=0与已知矛盾．
故答案为：-5．

点评 本题考查等差数列的性质，分类讨论是解决问题的关键，属中档题．