Question

已知函数f（x）=lnx．
（1）求函数g（x）=f（x+1）-x的最大值；
（2）若?x＞0，不等式f（x）≤ax≤x²+1恒成立，求实数α的取值范围；
（3）若x₁＞x₂＞0，求证：

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞

2x2

x12+x22

．

Answer 1

分析：（1）由g（x）=ln（x+1）-x，x＞-1，知g′(x)=

1

x+1

-1=

-x

x+1

，由此能求出函数g（x）=f（x+1）-x的最大值．
（2）由?x＞0，不等式f（x）≤ax≤x²+1恒成立，知

a≥ lnx x a≤x+ 1 x

在x＞0上恒成立，由此能求出实数α的取值范围．（3）当x₁＞x₂＞0时，不等式

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞

2x2

x12+x22

等价于ln

x1

x2

＞

2• x1 x2 -2

( x1 x2 )2-1

，由此利用构造法能够证明

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞

2x2

x12+x22

．

解答：解：（1）∵f（x）=lnx，g（x）=f（x+1）-x，
∴g（x）=ln（x+1）-x，x＞-1，
则g′(x)=

1

x+1

-1=

-x

x+1

．…（2分）
当x∈（-1，0）时，g′（x）＞0，则g（x）在（-1，0）上单调递增；
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（x）在x=0处取得最大值g（0）=0．…（4分）
（2）∵?x＞0，不等式f（x）≤ax≤x²+1恒成立，
∴

a≥ lnx x a≤x+ 1 x

在x＞0上恒成立．…（6分）
设h（x）=

lnx

x

，则h′(x)=

1-lnx

x2

．
当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，
∴h（x）在x=e时取最大值h（e）=

1

e

．
要使f（x）≤ax恒成立，必须a≥

1

e

．．…（8分）
另一方面，当x＞0时，x+

1

x

≥2，要ax≤x²+1恒成立，必须a≤2．
所以，满足条件的a的取值范围是[

1

e

，2]．．…（10分）
（3）当x₁＞x₂＞0时，
不等式

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞

2x2

x12+x22

等价于ln

x1

x2

＞

2• x1 x2 -2

( x1 x2 )2-1

．…（12分）
令t=

x1

x2

，设u（t）=lnt-

2t-2

t2+1

，t＞1，则u′(t)=

(t2-1)(t+1)2

t(t2+1)2

＞0，
∴u（t）在[1，+∞）内是增函数，
∴u（t）≥u（1）=ln1-

2-2

1+1

=0，
∴ln

x1

x2

＞

2• x1 x2 -2

( x1 x2 )2-1

，
∴

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞

2x2

x12+x22

．…（15分）

点评：本题考查函数的最大值的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想、构造法、导数性质的合理运用．