Question

（本小题14分）如图，棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=90°.M是BB₁的中点，N在BD上，3BN=ND

   （Ⅰ）证明：∥平面A₁DC₁；

   （Ⅱ）求二面角D—A₁A—C的大小；

Answer 1

解：(1)取AB的中点H，BC的中点G,连接MH、HG、MG，∵3BN=ND  ∴N是OB的中点  

∴MG过N点∵HG∥AC,AC∥A₁C₁∴HG∥A₁C₁  又∵HG不在平面DA₁C₁,

平面DA₁C₁   ∴HG∥平面DA₁C₁同理可证得MG∥平面DA₁C₁  又∵MG∩HG=G 

∴平面MGH∥平面DA₁C₁∵MN平面MGH   ∴MN∥平面DA₁C_{…………………… 7分}

(2) ∵平面AA₁C₁C⊥平面ABCD 且两平面的交线为AC，又∠A₁AC=90°

∴A₁A⊥平面ABCD∴A₁A⊥AC, A₁A⊥AD  ∴∠DAC是二面角D—A₁A—C的平面角∵四边形ABCD是菱形   且∠ABC=60°，∴∠BAC=120⁰，又因为菱形对角线平分内角，∴∠DAC=60⁰    ∴二面角D—A₁A—C的大小为60⁰

【命题意图】考查空间向量运用，垂直关系证明，求二面角