Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，．

（Ⅰ）证明：．

（Ⅱ）求平面和平面所成角（锐角）的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】

试题 (Ⅰ)由已知得,，，∴ ,由勾股定理得 ,从而平面，由此能证明.
(Ⅱ)取AD的中点O,连结OE,则,取AB的中点F,连结OF,则,以O为原点,建立空间直角坐标系,求出平面CDE的法向量和平面CDE的一个法向量,由此能求出平面ADE和平面CDE所成角(锐角)的余弦值.

试题解析：(Ⅰ)，，∴，

同理，，∴，

又∵，∴由勾股定理可知，，

又∵ 平面平面，平面平面，平面，

∴平面，

又∵平面，

∴．

(Ⅱ)解：取的中点，连结，则，

∵ 平面平面，平面平面，

∴平面，

取的中点，连结，

以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

设平面的法向量为，

则即，令，则，，

∴ 平面的法向量，

又平面的一个法向量为，

设平面和平面所成角（锐角）为，

则，

∴ 平面和平面所成角（锐角）的余弦值为．