Question

【题目】已知函数f（x）=x﹣alnx+b，a，b为实数．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+3，求a，b的值；
（Ⅱ）若|f′（x）|＜ 对x∈[2，3]恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（I）f′（x）=1﹣ ， ∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x+3，
∴f′（1）=2，f（1）=5，
∴ ，解得a=﹣1，b=4．
（II）∵|f′（x）|＜ 对x∈[2，3]恒成立，即|1﹣ |＜ 对x∈[2，3]恒成立，
∴|x﹣a|＜ 对x∈[2，3]恒成立，
∴x﹣ ＜a＜x+ 对x∈[2，3]恒成立，
设g（x）=x﹣ ，h（x）=x+ ，x∈[2，3]，
则g′（x）=1+ ＞0，h′（x）=1﹣ ＞0，
∴g（x）在[2，3]上是增函数，h（x）在[2，3]上是增函数，
∴gmax（x）=g（3）=2，hmin（x）=h（2）= 三．
∴a的取值范围是[2， ]．
【解析】（I）根据导数的几何意义可得f′（1）=2，f（1）=5，列方程组解出a，b即可；（II）分离参数得出x﹣ ＜a＜x+ ，分别求出左侧函数的最大值和右侧函数的最小值即可得出a的范围．