Question

已知数列{a_n}的前项的和S_n=

1

3

(an-1)（a是不为0的实数），那么（　　）

A．一定是等差数列

B．一定是等比数列

C．或者是等差数列，或者是等比数列

D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列

Answer 1

分析：由题意可知，当a=1时，a_n-a_n-1=0；当a≠1时，

an

an-1

=

an-an-1

an-1-an-2

=a，可得数列{a_n}或是等差数列或是等比数列．

解答：解：当a=1时，a₁=a-1=0，a_n=S_n-S_n-1=（aⁿ-1）-（a^n-1-1）=0，
当n≥2时，a_n-1=S_n-1-S_n-2=（a^n-1-1）-（a^n-2-1）=0，
∴a_n-a_n-1=0，∴数列{a_n}是等差数列．
当a≠1时，a₁=a-1，
a_n=S_n-S_n-1=（aⁿ-1）-（a^n-1-1）=aⁿ-a^n-1，
a_n-1=S_n-1-S_n-2=（a^n-1-1）-（a^n-2-1）=a^n-1-a^n-2，

an

an-1

=

an-an-1

an-1-an-2

=a，∴数列{a_n}是等比数列．
综上所述，数列{a_n}或是等差数列或是等比数列．
故选C．

点评：本题考查数列的概念，体现了分类讨论的数学思想，解题时要特别注意a=0的情况，避免丢解，这是解题的易错点，属于中档题．