Question

已知函数f(x)=

1

(x+1)2

(x≠-1)，
（1）求函数f（x）在点（0，1）的切线方程；
（2）已知数列{x_n}的项满足x_n=（1-f（1））（1-f（2））•…•（1-f（n）），试求x₁，x₂，x₃，x₄；
（3）猜想{x_n}的通项，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析：（1）欲求函数f（x）在点（0，1）的切线方程，只需求出切线的斜率，即求出函数在x=0处的导函数值，从而求出所求；
（2）根据数列{x_n}的项满足x_n=（1-f（1））（1-f（2））•…•（1-f（n）），将n=1，2，3，4分别代入，可求出x₁，x₂，x₃，x₄的值；
（3）根据（2）可猜想{x_n}的通项，然后根据数学归纳法的基本步骤进行证明，解题的关键利用x_k+1=x_k（1-f（k+1））进行求解．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

(x+1)2

(x≠-1)，
∴f′（x）=-

2

(x+1)3

则f′（0）=-2
∴函数f（x）在点（0，1）的切线方程为y-1=（-2）×（x-0）即2x+y-1=0
（2）∵f(x)=

1

(x+1)2

(x≠-1)，
∴f（1）=

1

4

，f（2）=

1

9

，f（3）=

1

16

，f（4）=

1

25

∴x₁=1-f（1）=1-

1

4

=

3

4

，x₂=（1-f（1））（1-f（2））=

3

4

×

8

9

=

2

3

=

4

6

，
x₃=（1-f（1））（1-f（2））（1-f（3））=

3

4

×

8

9

×

15

16

=

5

8

，
x₄=（1-f（1））（1-f（2））（1-f（3））（1-f（4））=

3

4

×

8

9

×

15

16

×

24

25

=

3

5

=

6

10

，
（3）猜想{x_n}的通项为x_n=

n+2

2n+2

①当n=1时，x₁=1-f（1）=1-

1

4

=

3

4

，满足通项公式；
②假设n=k时成立则x_k=

k+2

2k+2

；
则n=k+1时，x_k+1=（1-f（1））（1-f（2））•…•（1-f（k+1））=

k+2

2k+2

×（1-

1

(k+2)2

）=

k+3

2k+4

=

(k+1)+2

2(k+1)+2

，
∴当n=k+1时成立
由①②可得x_n=

n+2

2n+2

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及数学归纳的应用，同时考查了计算能力和转化的思想，属于基础题．