题目内容
函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0，x∈R）有极值点，则（ ）
| A、b2≤3ac | B、b2≥3ac | C、b2＜3ac | D、b2＞3ac |
分析：若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a＞0）在R上无极值，则其导数值非正或非负，由于其导数为开口向上的二次函数，
只须导函数相应二次方程的判别式非正即可即可得到函数在R上无极值的条件，进而得到函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0，x∈R）有极值点的条件．
只须导函数相应二次方程的判别式非正即可即可得到函数在R上无极值的条件，进而得到函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0，x∈R）有极值点的条件．
解答：解：由已知f（x）=ax3+bx2+cx+d（a＞0）
其导函数为f′（x）=3ax2+2bx+c，
∵数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a＞0）在R上无极值
∴f′（x）=3ax2+2bx+c≥0恒成立
∴4b2-12ac≤0，即b2-3ac≤0
即函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a＞0）在R上无极值 的条件是b2≤3ac．
故函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0，x∈R）有极值点，则b2＞3ac．
故选：D．
其导函数为f′（x）=3ax2+2bx+c，
∵数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a＞0）在R上无极值
∴f′（x）=3ax2+2bx+c≥0恒成立
∴4b2-12ac≤0，即b2-3ac≤0
即函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a＞0）在R上无极值 的条件是b2≤3ac．
故函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0，x∈R）有极值点，则b2＞3ac．
故选：D．
点评：本题的考点是函数在某点取得极值的条件，考查函数没有极值时导数的值域的数字特征，并将这一关系转化为相应的不等式．本题在求解时用到了等价转化的思想．转化是数学中解决问题的常用技巧，做完此题后要好好体会其方式．
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