Question

已知α、β∈(0, )，且sinβcscα=cos(α+β).

(1)将tanβ表示成tanα的函数关系式；

  (2)求tanβ的最大值，并求当tanβ取得最大值时tan（α+β）的值.

Answer 1

解：(1)由已知，得sinβ=sinαcos(α+β)=sinαcosαcosβ-sin²αsinβ, ∴(1+sin²α)sinβ=sinαcosαcosβ. ∴tanβ===. (2)tanβ==. ∵α∈(0,),∴tanα＞0,cotα＞0. 而cotα+2tanα≥2=2 ∴tanβ≤=. 当且仅当cotα=2tanα时取“=”，即α=arctan时，tanβ达到最大值，此时tan（α+β）===.