Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的短轴长与焦距相等，且过定点(1，

2

2

)，倾斜角为

π

4

的直线l交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求直线l在y轴上截距的取值范围；
（Ⅲ）求△ABP面积的最大值．

Answer 1

分析：（I）把点(1，

2

2

)代入椭圆方程，及其2b=2c，a²=b²+c²即可得出．
（II）把直线l的 方程与椭圆的方程联立消去一个未知数得到关于另一个未知数的一元二次方程，利用△＞0即可．
（III）利用根与系数的关系与弦长公式即可得到|AB|，利用中点坐标公式、线段的垂直平分线的方程、两点间的距离公式可得点P到直线AB的距离，进而得到面积，

解答：解：（I）由题意可得

2b=2c 1 a2 + 1 2 b2 =1 a2=b2+c2

，解得a²=2，b²=1．
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（II）设直线l的方程为：y=x+m．
联立

y=x+m x2 2 +y2=1

，消去y得到3x²+4mx+2m²-2=0，
由△=16m²-24（m²-1）＞0，得m²＜3，即-

3

＜m＜

3

．
∴直线l在y轴上的取值范围是(-

3

，

3

)．
（III）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．AB中点Q（x₀，y₀）．
则x1+x2=-

4m

3

，x1x2=

2m2-2

3

．
∴y₁+y₂=x₁+x₂+2m=

2m

3

．
∴x0=

x1+x2

2

=-

2m

3

，y0=

y1+y2

2

=

m

3

．
∴Q(-

2m

3

，

m

3

)．
∴AB的垂直平分线的方程为：y-

m

3

=-(x+

2m

3

)．
令y=0，得x=-

m

3

．即P(-

m

3

，0)．
点P到直线AB的距离d=|PQ|=

(- m 3 + 2m 3 )2+(0- m 3 )2

=

2 |m|

3

．
又|AB|=

(1+1)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2

(- 4m 3 )2-4× 2m2-2 3

=

4

3

3-m2

．
∴S△ABP=

1

2

|AB|•d=

1

2

×

4

3

3-m2

×

2 |m|

3

=

2 2

9

3m2-m4

=

2 2

9

-(m2- 3 2 )2+ 9 4

．
∵m²＜3，∴当且仅当m2=

3

2

时，△ABP面积取得最大值

2

3

．

点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、线段的垂直平分线、两点间的距离公式、三角形的面积计算公式等是解题的关键．