题目内容
已知x，y∈R，且x＞y＞e（其中e是自然对数的底数），试比较xy与yx的大小，并给出证明过程．
分析：由x＞y＞e，可构造函数f（x）=
，当x＞y＞e时利用其单调递减的性质，即可判断xy与yx的大小．
| lnx |
| x |
解答：解：当x＞y＞e时，xy＜yx．
证明：构造函数f（x）=
，则f′（x）=
=
，
∵x＞y＞e，故lnx＞1，
∴f′（x）=
＜0，
∴f（x）=
在（e，+∞）上单调递减，
∴当x＞y＞e时，
＜
，
∴ylnx＜xlny，即lnxy＜lnyx．
∴xy＜yx．
证明：构造函数f（x）=
| lnx |
| x |
| ||
| x2 |
| 1-lnx |
| x2 |
∵x＞y＞e，故lnx＞1，
∴f′（x）=
| 1-lnx |
| x2 |
∴f（x）=
| lnx |
| x |
∴当x＞y＞e时，
| lnx |
| x |
| lny |
| y |
∴ylnx＜xlny，即lnxy＜lnyx．
∴xy＜yx．
点评：本题考查不等式比较大小，着重考查构造函数思想与等价转化思想，考查导数的应用，属于难题．
练习册系列答案
名校名卷单元同步训练测试题系列答案
相关题目