Question

已知数列{a_n}满足：a1=

1

4

，2an+1=

a

2n

+2an，用[x]表示不超过x的最大整数，则[

1

a1+2

+

1

a2+2

+…+

1

a2013+2

]的值等于______．

Answer 1

因为a1=

1

4

，2an+1=

a

2n

+2an，所以数列{a_n}各项为正，并且

1

an+2

＞0
由递推公式2an+1=

a

2n

+2an，移向2an+1-

a

2n

-2an=0，
在两边加上a_na_n+1，并将左边提公因式得出（a_n+1-a_n）（a_n+2）=a_na_n+1
可得

1

an+2

= 

an+1-an

anan+1

= 

1

an

-

1

an+1

，
所以

1

a1+2

+

1

a2+2

+…+

1

a2013+2

=

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…

1

a2013

-

1

a2014

=

1

a1

-

1

a2014

＜

1

a1

=4．
又因为a1=

1

4

，a2=

9

32

，a3=

657

2048

，…，

1

a1+2

+

1

a2+2

+…+

1

a2013+2

＞3，
所以[

1

a1+2

+

1

a2+2

+…+

1

a2013+2

]=3
故答案为：3