Question

（1）判断函数f（x）=

2x-1

x-1

在区间（1，+∞）上的单调性，并用定义法给出证明；
（2）判断函数g（x）=x3+

1

x

的奇偶性，并用定义法给出证明．

Answer 1

分析：（1）利用函数的单调性的定义证明函数在区间（1，+∞）上是单调递减函数．
（2）先求函数的定义域，利用函数的奇偶性的定义进行判断和证明．

解答：解：（1）函数在区间（1，+∞）上是单调递减函数．
证明：对任意的1＜x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=

2x1-1

x1-1

-

2x2-1

x2-1

=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

，
∵1＜x₁＜x₂，
∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函数在区间（1，+∞）上是单调递减函数．
（2）函数g（x）=x3+

1

x

是奇函数．
证明：函数g（x）=x3+

1

x

的定义域为{x|x≠0}，定义域关于原点对称．
∵g(-x)=(-x)3+

1

-x

=-x3-

1

x

=-(x3+

1

x

)=-g(x)，
∴函数g（x）=x3+

1

x

是奇函数．

点评：本题主要考查函数单调性和奇偶性的判断和证明，利用单调性和奇偶性的定义是解决本题的关键．