Question

已知二次函数f（x）满足条件f（0）=0，f（﹣x+5）=f（x﹣3），且方程f（x）=x有等根．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在实数m，n，使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]？如果存在，求出m，n的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵f（x）是二次函数，
设f（x）=ax²+bx+c （a≠0）
∵f（0）=0
∴c=0
∴f（x）=ax²+bx
又∵f（﹣x+5）=f（x﹣3）
∴函数f（x）的对称轴为x=1
∴ 
又∵方程f（x）=x，即ax²+（b﹣1）x=0有等根
∴（b-1）²=0
∴ 
∴
（2）假设存在实数m，n，使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]
∵ 
∴  ∴ 
又函数f（x）的对称轴为x=1，且开口向下
∴f（x）在[m，n]上单调递增
∴ ，即 
又m＜n ∴m=﹣4，n=0
∴存在实数m=﹣4，n=0满足题意