Question

【题目】已知椭圆的右焦点的坐标为，点为椭圆上一点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的右焦点作斜率为的直线交椭圆于，两点，且，求的面积.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据题意，椭圆的右焦点的坐标为，得出，根据得出，再根据点是椭圆上一点，利用待定系数法即可求出和，从而得到椭圆的方程；

（2）根据直线的点斜式方程得出直线的方程为，与椭圆方程联立，求得或，从而得出，，以及弦长，通过得出点的坐标，根据点到直线的距离公式求出点到直线的距离，即可求得的面积.

解：（1）设椭圆的焦距为，

∵椭圆的右焦点的坐标为，∴，

∴①

∵点是椭圆上一点，

∴②

由①、②解得：，，

∴椭圆的方程为，

（2）由直线过椭圆的右焦点且斜率为的直线的方程为：

，而直线交椭圆于，两点，

代入，消去，整理得：，

解得：或，

∴，，

∴，

∵，∴，

即，

∴点的坐标为(，)，

∴点到直线的距离，

所以的面积.