Question

已知数列{a_n}满足前n项和S_n=n²+1，数列{b_n}满足b_n=

2

an+1

，且前n项和为T_n，设c_n=T_2n+1-T_n．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）判断数列{c_n}的增减性．

Answer 1

分析：（1）由数列{a_n}的前n项和公式S_n=n²+1，先求出a_n，再由b_n=

2

an+1

，求数列{b_n}的通项公式．
（2）由c_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n+1

，知c_n+1-c_n=

1

2n+2

+

1

2n+3

-

1

n+1

＜0，所以{c_n}是递减数列．

解答：解：（1）a₁=2，a_n=S_n-S_n-1=2n-1（n≥2）．
∴b_n=

1 n (n≥2) 2 3 (n=1)

（2）∵c_n=b_n+1+b_n+2+…+b_2n+1
=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n+1

，
∴c_n+1-c_n=

1

2n+2

+

1

2n+3

-

1

n+1

＜0，
∴{c_n}是递减数列．

点评：本题考查数列的求和，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，仔细求解．