题目内容
已知数列{an}满足a1=1，an=logn（n+1）（n≥2，n∈N*）．定义：使乘积a1•a2•a3…ak为正整数的k（k∈N*）叫做“和谐数”，则在区间[1，2010]内所有的“和谐数”的和为（ ）
分析：利用an=logn+1（n+2），化简a1•a2•a3…ak，得k=2m-2，给m依次取值，可得区间[1，2010]内所有和谐数，然后求和．
解答：解：an=logn+1（n+2），
∴由a1•a2…ak为整数得1•log23•log34…log（k+1）（k+2）=log2（k+2）为整数，
设log2（k+2）=m，则k+2=2m，
∴k=2m-2； 因为211=2048＞2010，
∴区间[1，2010]内所有和谐数为：22-2，23-2，24-2，…，210-2，
其和M=22-2+23-2+24-2+…+210-2=2026．
故选C．
∴由a1•a2…ak为整数得1•log23•log34…log（k+1）（k+2）=log2（k+2）为整数，
设log2（k+2）=m，则k+2=2m，
∴k=2m-2； 因为211=2048＞2010，
∴区间[1，2010]内所有和谐数为：22-2，23-2，24-2，…，210-2，
其和M=22-2+23-2+24-2+…+210-2=2026．
故选C．
点评：本题以新定义“和谐数”为切入点，主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用，属于中档试题
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