Question

已知集合M是由满足下列性质的函数f（x）的全体所组成的集合：在定义域内存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）指出函数f（x）=

1

x

是否属于M，并说明理由；
（2）设函数f（x）=lg

a

x2+1

属于M，求实数a的取值范围．

Answer 1

：（1）若f（x）=

1

x

属于M，则存在x₀∈（-∞，0）∪（0，+∞），使得

1

x0+1

=

1

x0

+1，
则x₀²+x₀+1=0，因为方程x₀²+x₀+1=0无解，所以f（x）=

1

x

不属于M
（2）由f（x）=lg

a

x2+1

属于M知，有lg

a

(x+1)2+1

=lg

a

x2+1

+lg

a

2

有解，
即（a-2）x²+2ax+2（a-1）=0有解；
当a=2时，x=-

1

2

；
当a≠2时，由△≥0，得a²-6a+4≤0，得a∈[3-

5

，2]∪（2，3+

5

]，
又因为对数的真数大于0，
所以a＞0
所以a∈[3-

5

，，3+

5

]