Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，M为棱DD₁上的一点。

（1）求三棱锥A-MCC₁的体积；
（2）当A₁M+MC取得最小值时，求证：B₁M⊥平面MAC。

Answer 1

解：（1）由长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁
知AD⊥平面CDD₁C₁，
∴点A到平面CDD₁C₁的距离等于AD=1，
又=CC₁·CD=×2×1=1，
∴=AD=。
（2）将侧面CDD₁C₁绕DD₁逆时针转90°展开，与侧面ADD₁A₁共面，
当A₁，M，C′共线时，A₁M+MC取得最小值．
由AD=CD=1，AA₁=2，得M为DD₁的中点
连接C₁M，在△C₁MC中，C₁M=，MC=，C₁C=2，
∴=+MC²，得∠CMC₁=90°，即CM⊥C₁M，
又B_1C1⊥平面CDD₁C₁，
∴B₁C₁⊥CM，
又B₁C₁∩C₁M=C₁，
∴CM⊥平面B₁C₁M，
∴CM⊥B₁M，
同理可证，B₁M⊥AM，
又AM∩MC=M，
∴B₁M⊥平面MAC。