题目内容
在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆
+
=1(a＞b＞0)的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一个交点为D，若cos∠F1BF2=
，则直线CD的斜率为（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 7 |
| 25 |
分析：Rt△OF1B中，可得cos∠F1BO=
，结合二倍角公式和cos∠F1BF2=
，算出
=
．设D（m，n），可证出BD、CD斜率之积等于-
，再根据kBD=kBF2=-
，即可算出直线CD的斜率为
．
| b |
| a |
| 7 |
| 25 |
| b |
| a |
| 4 |
| 5 |
| 16 |
| 25 |
| 4 |
| 3 |
| 12 |
| 25 |
解答：解：Rt△OF1B中，|OF1|=c，|OB|=b
∴|BF1|=
=a，得cos∠F1BO=
∵cos∠F1BF2=cos2∠F1BO=2cos2∠F1BO-1=
∴2•（
）2-1=
，解之得
=
设D（m，n），得kBD=
，kCD=
∴kBD•kCD=
∵D（m，n）在椭圆
+
=1上，
∴
+
=1，得n2=b2（1-
）
由此可得kBD•kCD=
=-
=-
又∵kBD=kBF2=-
=-
=-
=-
∴kCD=
=
，即直线CD的斜率等于
故选：B
∴|BF1|=
| b2+c2 |
| b |
| a |
∵cos∠F1BF2=cos2∠F1BO=2cos2∠F1BO-1=| 7 |
| 25 |
∴2•（
| b |
| a |
| 7 |
| 25 |
| b |
| a |
| 4 |
| 5 |
设D（m，n），得kBD=
| b-n |
| -m |
| -b-n |
| -m |
∴kBD•kCD=
| n2-b2 |
| m2 |
∵D（m，n）在椭圆
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∴
| m2 |
| a2 |
| n2 |
| b2 |
| m2 |
| a2 |
由此可得kBD•kCD=
-
| ||
| m2 |
| b2 |
| a2 |
| 16 |
| 25 |
又∵kBD=kBF2=-
| b |
| c |
|
|
| 4 |
| 3 |
∴kCD=
-
| ||
-
|
| 12 |
| 25 |
| 12 |
| 25 |
故选：B
点评：本题在椭圆中，给出短轴顶点对两个焦点张角的余弦值，求与椭圆离心率相关的一个斜率之值，着重考查了直线的斜率、二倍角的三角函数、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．
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