Question

已知函数f(x)=lnx+

1

x

+ax在[2，+∞)上是减函数，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：根据题意，已知f（x）在区间[2，+∞）上是减函数，即f′（x）≤0在区间[2，+∞）上恒成立，对于恒成立往往是把字母变量放在一边即参变量分离，另一边转化为求函数在定义域下的最值，即可求解．

解答：解：f′（x）=

1

x

-

1

x2

+a，，∵f（x）在[2，+∞）上为减函数，
∴x∈[2，+∞）时，f′（x）=

1

x

-

1

x2

+a≤0恒成立．
即a≤

1

x2

-

1

x

恒成立．
设y=

1

x2

-

1

x

，t=

1

x

∈（0，

1

2

]
y=t²-t=(t-

1

2

)2-

1

4

≥-

1

4

∴y_min=-

1

4

则a≤y_min=-

1

4

故答案为：(-∞，-

1

4

]

点评：本题主要考查了根据函数单调性求参数范围的问题，解题的关键将题目转化成f′（x）≤0在区间[2，+∞）上恒成立进行求解，同时考查了参数分离法，属于中档题．