Question

是否存在最大的正整数m，使得f（n）=（2n+7）•3ⁿ+9对任意正整数n都能被m整除？

Answer 1

分析：计算f（1），f（2），f（3）猜测存在m=36，然后直接利用数学归纳法的证明步骤证明即可．

解答：解：f（1）=（2+7）•3+9=36，
f（2）=（2×2+7）•3²+9=36×3，
f（3）=（2×3+7）•3³+9=36×10，
猜测存在m=36（2分）
①当n=1时，f（1）=（2+7）•3+9=36能被36整除（1分）
②假设n=k时，f（k）=（2k+7）•3^k+9能被36整除
当n=k+1时，f（k+1）=[2（k+1）+7）]•3^k+1+9
=3[（2k+7）3^k+9+（2×3^k-9）]+9
=3[（2k+7）3^k+9]+6×3^k-18
=3[（2k+7）3^k+9]+18（3^k-1-1）（3分）
∵k∈N^*，∴3^k-1-1为偶数，18（3^k-1-1）能被36整除（2分）
∴f（k+1）=3[（2k+7）3^k+9]+18（3^k-1-1）能被36整除（1分）
∴n=k+1时，猜测也成立
由①②可知对任意正整数n猜测都成立
故存在m=36（1分）

点评：本题考查数学归纳法证明问题的步骤，证明整除问题的方法，注意n=k+1时必须用上假设，考查计算能力．