题目内容
（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵A=
的一个特征值为λ1=-1，其对应的一个特征向量为
，已知
，求A5β．
【答案】分析：利用特征值、特征向量的定义，构建方程组，由此可求矩阵A．再求矩阵A的特征多项式，从而求得特征值与特征向量，利用矩阵A的特征值与特征向量，进而可求A5β．
解答：解：依题意：Aα1=-α1，…（4分）
即
=-
，
∴
，∴
…（8分）
A的特征多项式为f（λ）=（λ-1）λ-2=λ2-λ-2=0，
则λ=-1或λ=2．
λ=2时，特征方程
，属于特征值λ=2的一个特征向量为
，
∵
=-2
+3
，
∴A5β=-2×（-1）5
+3×25
=
．
点评：本题考查待定系数法求矩阵，考查特征值与特征向量，理解特征值、特征向量的定义是关键．
解答：解：依题意：Aα1=-α1，…（4分）
即
=-，∴
，∴…（8分）A的特征多项式为f（λ）=（λ-1）λ-2=λ2-λ-2=0，
则λ=-1或λ=2．
λ=2时，特征方程
，属于特征值λ=2的一个特征向量为，∵
=-2+3，∴A5β=-2×（-1）5
+3×25=．点评：本题考查待定系数法求矩阵，考查特征值与特征向量，理解特征值、特征向量的定义是关键．
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