Question

20.设函数f(x)=-cos²x-4tsincos+4t²+t²-3t+4,x∈R,其中≤1，将f(x)的最小值记为g(t).

(Ⅰ)求g(t)的表达式；

(Ⅱ)讨论g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.

Answer 1

本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性。考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间、极值与最值等问题的综合能力。

解：(Ⅰ)我们有

     ＝sin²x-1-2tsinx+4t³+t²-3t+4

     =sin²x-2tsinx+t²+4t³-3t+3

     =(sinx-t)²+4t³-3t+3

由于(sinx-t)²≥0,|t|≤1,故当sinx=t时，f(x)达到其最小值g(t),即

g(t)=4t³-3t+3.

(Ⅱ)我们有

g′(t)=12t²-3=3(2t+1)(2t-1),-1＜t＜1.

列表如下：

t
g′(t)	+	0	-	0	+
g(t)	↗	极大值	↘	最小值	↗

由此可见，g(t)在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为.