Question

利民工厂生产的某种产品，当年产量在150T至250T之内，当年生产的总成本y（万元）与年产量x（T）之间的关系可近似地表示为y=

x2

10

-30x+4000．
（Ⅰ）当年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低，并求每吨最低平均成本；
（Ⅱ）若每吨平均出厂价为16万元，求年生产多少吨时，可获得最大的年利润，并求最大年利润．

Answer 1

分析：（I）利用总成本除以年产量表示出平均成本；利用基本不等式求出平均成本的最小值．
（II）利用收入减去总成本表示出年利润；通过配方求出二次函数的对称轴；由于开口向下，对称轴处取得最大值．

解答：解：（I）设每吨的平均成本为W（万元/T），
则W=

y

x

=

x

10

+

4000

x

-30≥2

x 10 • 4000 x

-30=10，（4分）
当且仅当

x

10

=

4000

x

，x=200（T）时每吨平均成本最低，且最低成本为10万元．（6分）
（II）设年利润为u（万元），则u=16x-(

x2

10

-30x+4000)=-

x2

10

+46x-4000=-

1

10

(x-230)2+1290．（11分）
所以当年产量为230吨时，最大年利润1290万元．（12分）

点评：本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查利用基本不等式求函数的最值需满足：
正、二定、三相等、考查求二次函数的最值关键看对称轴．