Question

（2010•桂林二模）已知数列{a_n}满足a₁=

1

4

，a_n=

an-1

(-1)nan-1-2

（n≥2，n∈N）
（Ⅰ）求数列{

1

an

+（-1）ⁿ}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

1

an2

（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知计算整理得出

1

an

+（-1）ⁿ=2•（-1）ⁿ-

2

an-1

=-2[

1

an-1

+（-1）^n-1]，可以判定出数列{

1

an

+（-1）ⁿ}是以-2为公比的等比数列，再求出首项后，可求出通项公式．
（2）由（1）可得

1

an

=3•（-2）^n-1-（-1）n=（-1）^n-1（3•2^n-1+1），b_n=

1

an2

=9•4 ^n-1+6•2 ^n-1+1．
 利用分组、等比数列前n项和公式计算．

解答：解：（1）∵a_n=

an-1

(-1)nan-1-2

（n≥2，n∈N），
∴

1

an

=（-1）ⁿ-

2

an-1

，
∴

1

an

+（-1）ⁿ=2•（-1）ⁿ-

2

an-1

=-2[

1

an-1

+（-1）^n-1]
∴数列{

1

an

+（-1）ⁿ}是以-2为公比的等比数列，且首项

1

a1

-1=3．
通项公式

1

an

+（-1）ⁿ=3•（-2）^n-1，
（2）由（1）得

1

an

=3•（-2）^n-1-（-1）n=（-1）^n-1（3•2^n-1+1）
b_n=

1

an2

=9•4 ^n-1+6•2 ^n-1+1．
数列{b_n}的前n项和S_n=9（1+4+4²+…+4 ^n-1）+6•（1+2+2 ²+…2 ^n-1）+n
=9•

1-4n

1-4

+6•

1-2n

1-2

+n=3•4ⁿ+6•2ⁿ+n-9．

点评：本题考查等比数列的判定、通项公式、前n项和公式． 分组、公式法数列求和．考查变形构造、计算能力．