Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{a_n²}的前n项和为T_n，满足a₁=1，，其中p为常数．
（1）求p的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）①是否存在正整数n，m，k（n＜m＜k），使得a_n，a_m，a_k成等差数列？若存在，指出n，m，k的关系；若不存在，请说明理由；
②若对于任意的正整数n，都有a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差数列，求出实数x，y的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）令n=1，代入Tn，求出p的可能取值，经过验证，确定最终的值2．利用a_n与Sn，a_n^2_与Tn的关系，转化，寻求{a_n}的性质，根据性质求通项．
（2）①假设存在n，m，k（n＜m＜k），列出关系式，探讨有无解或关系②转换成恒成立问题，注意a=1（a≠0）的使用．
解答：解：（1）当n=1时，T_n=，即1=，∴p=0或p=2
当p=0时，T_n=．将n=2代入，得1+a₂²=．
∴a₂=0，或∴与a_n＞0矛盾．∴p≠0
当p=2时，   ①
将n=2代入，得∴a₂=，a₂=a₁
由①得    ②
②-①得
即3a_n+1²=（4-S_n+1-S_n）a_n+1
  则3a_n+1=4-S_n+1-S_n    ③
  则 3a_n+2=4-S_n+2-S_n+1     ④
④-③，得3a_n+2-3a_n+1=-a_n+2-a_n+1
a_n+2=a_n+1，又a₂=a₁
∴{a_n}是等比数列，通项公式a_n=．
（2）①假设存在正整数n，m，k（n＜m＜k），使得a_n，a_m，a_k成等差数列，则
 2a_m=a_n+a_k，即2×=
两边同除以得：2=+  ⑤
由已知n-m≤-1，∴≥2，且＞0
∴⑤式不成立．从而不存在满足条件的n，m，k．
      ②若对于任意的正整数n，都有a_n，2^xa_n+1，2^ya_n+2成等差数列
  则2^x+1a_n+1=a_n+2^ya_n+2，根据通项公式，得2^x-n+1=2^1-n+2^y-n-1，
两边同除以2^1-n，得2^x=1+2^y-2，∴x=1，y=2．
点评：本题考查等比数列的定义，性质，通项公式求解，考查转化能力，分析解决问题能力，计算能力，反证法的运用能力．是难题．