Question

【题目】在四边形中，，；如图，将沿边折起，连结，使，求证：

（1）平面平面；

（2）若为棱上一点，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）

【解析】

（1）由题可知，等腰直角三角形与等边三角形，在其公共边AC上取中点O，连接、，可得，可求出.在中，由勾股定理可证得，结合，可证明平面.再根据面面垂直的判定定理，可证平面平面.

（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由点F在线段上，设，得出的坐标，进而求出平面的一个法向量.用向量法表示出与平面所成角的正弦值，由其等于，解得.再结合为平面的一个法向量，用向量法即可求出与的夹角，结合图形，写出二面角的大小.

证明：（1）在中，

为正三角形，且

在中，

为等腰直角三角形，且

取的中点，连接

，

，

，平面

平面

平面

..平面平面

（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则

，

，

，

设.则

设平面的一个法向量为.则

，

令，解得

与平面所成角的正弦值为，

整理得

解得或(含去)

又为平面的一个法向量

，

二面角的大小为.