Question

已知正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AA₁＝2AC＝4，延长CB至D，使CB＝BD．

(Ⅰ)求证：直线C₁B∥平面AB₁D；

(Ⅱ)求平面AB₁D平面ACB所成角的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)连结C1B则C1B1＝CB＝DB，又C1B1∥BD， 　　所以，四边形C1BDB1是平行四边形，　　　　　　(4分) 　　所以，C1B∥B1D，又B1D平面AB1D， 　　所以，直线C1B∥平面AB1D．　　　　　　　　　　　(7分); 　　(Ⅱ)在△ACD中，由于CB＝BD＝BA， 　　所以，∠DAC＝90°， 　　以A为原点，建立如图空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B1(，1，4)，D(2，0，0)，　　　　　　　　　　(10分) 　　设平面AB1D的法向量n＝(x，y，z)，则 　　所以取z＝1，则n＝(0，－4，1)　　　　　　　(12分) 　　取平面ACB的法向量为m＝(0，0，1) 　　则 　　所以，平面AB1D与平面ACB所成角的正弦值为　　(14分)

提示：

本题主要考查空间线面、面面的位置关系等基本知识，同时考查空间想象能力．