Question

（2013•天津一模）已知函数f（x）=sin2x+acos²x，a，a为常数，a∈R，且f(

π

4

)=0．
（I）求函数f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）当x∈[

π

24

，

11π

24

]时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）由f(

π

4

)=0，代入f（x）中即可求出a的值，然后把求出a的值代入然后把求出a的值代入f（x）中，然后利用二倍角的余弦函数公式及两角差的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据公式求出结果．
（II）根据x的范围求出2x-

π

4

的范围，根据正弦函数的图象求出sin（2x-

π

4

）的值域即可得到f（x）的最值．

解答：解：（Ⅰ）由已知得f(

π

4

)=sin

π

2

+acos2

π

4

=0
即1+

1

2

a=0，
所以a=-2
所以f（x）=sin2x-2cos²x=sin2x-cos2x-1=

2

sin(2x-

π

4

)-1
所以函数f（x）的最小正周期为π
（Ⅱ）由x∈[

π

24

，

11π

24

]，得2x-

π

4

∈[-

π

6

，

2π

3

]
则sin(2x-

π

4

)∈[-

1

2

，1]
所以-

2

2

-1≤

2

sin(x-

π

4

)-1≤

2

-1
所以函数y=f（x）的最大值为

2

-1；最小值为-

2

2

-1

点评：本题三角函数周期的求法，又考查学生会求正弦函数的在某一范围内的最值以及会求正弦函数的值域．是一道综合题．