Question

在棱长为a的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,M、N分别是AA₁、D₁C₁的中点,过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.

(1)画出l的位置;

(2)设l∩A₁B₁=P,求PB₁的长;

(3)求D₁到l的距离.

Answer 1

解:(1)设过三点D、M、N的平面为α,α与平面AA₁D₁D的交线为直线DM,设DM∩D₁A₁=Q,则α与平面A₁B₁C₁D₁的交线为QN,即QN为所要画的直线l.

 (2)设QN∩A₁B₁=P,△MA₁Q≌△MAD,

∴A₁Q=AD=A₁D₁,A₁是QD₁的中点.

∴A₁P=D₁N=,

即PB₁=a-.

(3)作D₁H⊥l于H,则D₁H的长就是D₁到l的距离.

在Rt△QD₁N中,两直角边D₁N=,D₁Q=2a,斜边QN=,

∵D₁H×QN=D₁N×D₁Q,

∴D₁H=,即D₁到l的距离为.