Question

若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而F(x)=

f(x)

x

在I上是减函数，则称y=f（x）在I上是“弱增函数”
（1）请分别判断f（x）=x+4，g（x）=x²+4x+2在x∈（1，2）是否是“弱增函数”，并简要说明理由．
（2）若函数h(x)=x2+(sinθ-

1

2

)x+b（θ、b是常数）在（0，1]上是“弱增函数”，请求出θ及正数b应满足的条件．

Answer 1

分析：（1）依据“弱增函数”的定义逐个判断即可；
（2）由于h（x）在（0，1]上是“弱增函数”，所以h（x）在（0，1]上单调递增，

h(x)

x

在（0，1]上单调递减，由此可求出θ及正数b满足的条件．

解答：解：（1）由于f（x）=x+4在（1，2）上是增函数，且F（x）=

f(x)

x

=1+

4

x

在（1，2）上是减函数，
所以f（x）=x+4在（1，2）上是“弱增函数”；
g（x）=x²+4x+2在（1，2）上是增函数，但

g(x)

x

=x+4+

2

x

在（1，2）上不单调，所以g（x）=x²+4x+2在（1，2）上不是“弱增函数”．
（2）因为h(x)=x2+(sinθ-

1

2

)x+b（θ、b是常数）在（0，1]上是“弱增函数”
所以h(x)=x2+(sinθ-

1

2

)x+b在（0，1]上是增函数，且F（x）=

h(x)

x

=x+

b

x

+(sinθ-

1

2

)在（0，1]上是减函数，
由h(x)=x2+(sinθ-

1

2

)x+b在（0，1]上是增函数，得h′（x）≥0即2x+（sinθ-

1

2

）≥0在（0，1]上恒成立，
所以

-(sinθ- 1 2 )

2

≤0，得sinθ≥

1

2

，解得θ∈[2kπ+

π

6

，2kπ+

5π

6

]，k∈Z．
由F（x）=

h(x)

x

在（0，1]上是减函数，得F′（x）≤0在（0，1]上恒成立，即1-

b

x2

≤0，b≥x²在（0，1]上恒成立，
所以b≥1．
综上所述，b≥1且θ∈[2kπ+

π

6

，2kπ+

5π

6

]    k∈Z时，h（x）在（0，1]上是“弱增函数”．

点评：本题以新定义的形式考查函数的单调性，考查运用所学知识分析解决新问题的能力．