题目内容
(本题满分14分)设抛物线
的方程为
，
为直线
上任意一点，过点
作抛物线的两条切线
，切点分别为
,
.
（1）当的坐标为
时，求过
三点的圆的方程，并判断直线
与此圆的位置关系；
（2）求证：直线
恒过定点
.
解：(1)当
的坐标为
时，设过点的切线方程为
，代入
，整理得
，
令
，解得
，
代入方程得
，故得
， ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
因为到
的中点
的距离为
，
从而过
三点的圆的方程为
．
易知此圆与直线
相切.
．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）证法一：设切点分别为
,
,过抛物线上点的切线方程为
，代入，整理得
，又因为
，所以
．．．．．．．．．．．．．．．．6分
从而过抛物线上点的切线方程为
即
又切线过点
，所以得
① 即
．．．．8分
同理可得过点的切线为
，
又切线过点，所以得
② ．．．．10分
即
．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
即点，均满足
即
，故直线的方程为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
又为直线
上任意一点，故
对任意
成立，所以
，从而直线恒过定点
.．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
证法二：设过的抛物线的切线方程为
，代入，消去
，得
即：
．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
从而
，
此时
，
所以切点
的坐标分别为
，
．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
因为
，
，
，
所以的中点坐标为
.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分
故直线的方程为
，即.．．．．．．．．．．12分
又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点 .．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
证法三：由已知得
，求导得
，切点分别为,，故过点的切线斜率为，从而切线方程为
即
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
又切线过点，所以得 ① 即．．．．．．．．８分
同理可得过点的切线为，
又切线过点，所以得 ② 即．．．．．．．．10分
即点，均满足即，故直线的方程为
．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
又为直线上任意一点，故对任意成立，所以，从而直线恒过定点 .．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
【解析】略
，
。
，过两点
和
的中点作
轴的垂线交曲线
于点
，求证：曲线
处的切线
过点
；
，当
时
恒成立，求实数
的取值范围。
（1）求函数
的单调区间；（2）求
时，用数学归纳法证明：
的左、右焦点分别为F1与
过椭圆的一个焦点F2且与椭圆交于P、Q两点，若
的周长为
。
变成曲线
，直线
与曲线
，求
面积的取值范围。（O为坐标原点）
构成的集合：“①方
有实数根；②函数
满足
”
是集合M中的元素；
，都存在
，使得等式
成立。 
.
，求函数
的极值；
，试确定
的单调性；
，且
在
上的最大值为M，证明：
．